একটি সংখ্যাকে তিনটি সংখ্যার যোগফল হিসেবে লেখা খুব কঠিন কিছু নয়। যেমন, ১০ সংখ্যাটিকে লেখা যায় ২ + ৩ + ৫ = ১০। চাইলে ১০০ সংখ্যাটিকে লেখা যায় ৩০ + ৩০ + ৪০ = ১০০। এমনকি ঋণাত্মক সংখ্যা ব্যবহার করেও যোগফল তৈরি করা যায়। যেমন, ১০ = ২০ + (−৫) + (−৫)।
এবার একটু অন্যভাবে ভাবা যাক। তিনটি সংখ্যা যোগ করতে হবে ঠিকই, কিন্তু যেকোনো তিনটি সংখ্যা নিলে চলবে না। প্রতিটি সংখ্যাকে আগে নিজের সঙ্গে তিনবার গুণ করে তারপর সেই তিনটি গুণফল যোগ করতে হবে। যোগফল হতে হবে আমাদের পছন্দের একটি সংখ্যা—১১৪। অর্থাৎ, এমন তিনটি সংখ্যা খুঁজে বের করতে হবে, যে সংখ্যাগুলোর কিউব বা ঘন করে যোগ করলে ১১৪ সংখ্যাটি পাওয়া যাবে। গণিতের এই সমস্যার নাম ‘সাম অব থ্রি কিউবস’। বাংলায় আমরা এই সমস্যার নাম দিই ‘তিনটি ঘনসংখ্যার যোগফল’। গাণিতিকভাবে সমস্যাটি লেখা যায় এভাবে:
x3 + y3 + z3 = 114
এই প্রশ্নটা অনেক সহজ মনে হচ্ছে না? কিন্তু এই সহজ প্রশ্নটা নিয়েই গণিতবিদেরা বহু বছর ধরে মাথা ঘামাচ্ছেন। কারণ, ওই তিনটা সংখ্যা এখনো খুঁজে পাওয়া যায়নি। এমনকি কৃত্রিম বুদ্ধিমত্তাও এর কোনো সমাধান করতে পারেনি। কেন পারেনি? সেই রহস্য বুঝতে হলে প্রথমে ঘনসংখ্যার জগতে একটু ঢুঁ মারতে হবে।
তিনটি সংখ্যা যোগ করতে হবে ঠিকই, কিন্তু যেকোনো তিনটি সংখ্যা নিলে চলবে না। প্রতিটি সংখ্যাকে আগে নিজের সঙ্গে তিনবার গুণ করে তারপর সেই তিনটি গুণফল যোগ করতে হবে।
২
প্রথমে ঘনসংখ্যার ব্যাপারটি পরিষ্কার করা যাক। কোনো সংখ্যাকে সেই সংখ্যা দিয়ে তিনবার গুণ করলে যে ফল পাওয়া যায়, সেটিই ওই সংখ্যার ঘনসংখ্যা। যেমন, ৩-এর ঘনসংখ্যা ৩ × ৩ × ৩ = ২৭। আবার ৫ সংখ্যার ঘন ৫ × ৫ × ৫ = ১২৫। একনজরে কয়েকটি সংখ্যার ঘনসংখ্যার মান দেখে নিই।
খেয়াল করলে দেখা যাবে, সংখ্যাটি যত বাড়ছে, ঘনসংখ্যার মানও তত দ্রুত বাড়ছে। আমাদের লক্ষ্য যেহেতু ১১৪, তাই আপাতত ৫-এর চেয়ে বড় সংখ্যার ঘন জানার দরকার নেই। এখন প্রশ্ন হলো, ৫-এর চেয়ে ছোট তিনটি ঘনসংখ্যা যোগ করলেই কি ১১৪ পাওয়া যাবে?
চেষ্টা করে দেখা যাক।
১৩ + ২৩ + ৩৩ = ১ + ৮ + ২৭ = ৩৬
আমাদের পছন্দের সংখ্যা থেকে এই মান অনেক কম। তাহলে সংখ্যাটা একটু বড় করা যাক। ১, ২ ও ৩-এর পরিবর্তে এবার ২, ৩ ও ৪ নিই।
২৩ + ৩৩ + ৪৩ = ৮ + ২৭ + ৬৪ = ৯৯
৯৯ সংখ্যাটি ১১৪-এর বেশ কাছাকাছি। কিন্তু আমাদের দরকার আরও ১৫ প্রয়োজন। এখানেই দেখা যায় প্রথম সমস্যা। সাধারণ ধনাত্মক সংখ্যা নিয়ে চেষ্টা করতে করতে আমরা ৯৯ পর্যন্ত এসেছি। এবার সংখ্যা আরও বড় করলে তা ১১৪-এর চেয়ে অনেক বেশি হয়ে যাবে। কারণ, শুধু ৫-এর ঘনসংখ্যার মানই ১২৫। তবুও দেখা যাক।
৩৩ + ৪৩ + ৫৩ = ২৭ + ৬৪ + ১২৫ = ২১৬
সাধারণ ধনাত্মক সংখ্যা নিয়ে চেষ্টা করতে করতে আমরা ৯৯ পর্যন্ত এসেছি। এবার সংখ্যা আরও বড় করলে তা ১১৪-এর চেয়ে অনেক বেশি হয়ে যাবে। কারণ, শুধু ৫-এর ঘনসংখ্যার মানই ১২৫।
তার মানে। শুধু ধনাত্মক সংখ্যার ঘন যোগ করে ১১৪ পাওয়া সম্ভব নয়। এবার তাহলে ঋণাত্মক সংখ্যার সাহায্যে চেষ্টা করা যেতে পারে। আগেই বলেছি, ঋণাত্মক সংখ্যা ব্যবহার করেও যোগফল তৈরি করা যায়। তিনটি সংখ্যা ধনাত্মক হতেই হবে, এমন কোনো শর্ত নেই। আর ঋণাত্মক সংখ্যার ঘনসংখ্যাও সবসময় ঋণাত্মক হয়। যেমন:
(−২)৩ = -৮
(−৩)৩ = -২৭
(−৫)৩ = -১২৫
আমরা চাইলে তিনটি সংখ্যার ঘনসংখ্যা বের করার সময় ধনাত্মক ও ঋণাত্মক সংখ্যা একসঙ্গেও নিতে পারি। যেমন:
৪৩ + ৪৩ + (-৫)৩ = ৬৪ + ৬৪ - ১২৫ = ১২৮ - ১২৫ = ৩
এখানে তিনটি সংখ্যার ঘনসংখ্যা যোগ করে পেলাম মাত্র ৩! এখন যদি আমরা এমন তিনটি সংখ্যা খুঁজে বের করতে চাই, যাদের প্রত্যেকটির ঘনসংখ্যা যোগ করলে একটি নির্দিষ্ট সংখ্যা পাওয়া যাবে। ধরা যাক, যোগফল হতে হবে ২৯। তাহলে খুব সহজেই একটি সমাধান পাওয়া যায়।
২৯ = ৩৩ + ১৩ + ১৩
এখানে ৩৩ = ২৭ এবং ১৩ = ১। ফলে ২৭ + ১ + ১ = ২৯।
এবার সংখ্যাটা একটু বড় করা যাক। ৩৩ সংখ্যাটিকে কি তিনটি ঘনসংখ্যার যোগফল হিসেবে লেখা যায়? আগে দেখি, কোন তিনটি সংখ্যা যোগ করলে ঠিক ৩৩ হয়। সাধারণভাবে তিনটি সংখ্যা যোগ করে ৩৩ বানানোর অসংখ্য উপায় আছে। যেমন, ১০ + ১০ + ১৩ = ৩৩। এখানে সমস্যা হলো, কোনো সংখ্যা ঘন করলে ১০ বা ১৩ হয় না। যেমন ২-এর ঘন ৮, ৩-এর ঘন ২৭। ফলে এই ছোট সংখ্যার ঘনসংখ্যা যোগ করে ৩৩ পাওয়া সহজ নয়। আবার যোগফল কিন্তু ঠিক ৩৩ হতে হবে, সামান্য এদিক-ওদিক হলেও চলবে না।
আগেই বলেছি, ঋণাত্মক সংখ্যা ব্যবহার করেও যোগফল তৈরি করা যায়। তিনটি সংখ্যা ধনাত্মক হতেই হবে, এমন কোনো শর্ত নেই। আর ঋণাত্মক সংখ্যার ঘনসংখ্যাও সবসময় ঋণাত্মক হয়।
আরেকটি বিষয় খেয়াল করার মতো। ১০০-এর ঘন ১০ লাখ। সংখ্যাটি মাত্র ১০০ হলেও তার ঘন অনেক বড় হয়ে যায়। ১,০০০-এর ঘন এক শ কোটি। তাই ঘন যত বড় হয়, ফলাফলের সংখ্যা তত দ্রুত বাড়ে। আবার বড় ধনাত্মক ও ঋণাত্মক ঘনসংখ্যা একসঙ্গে যোগ হলে যোগ-বিয়োগ করে কাটাকাটি করা যাতে পারে। ফলে ছোট একটি উত্তর পেতেও মাঝেমধ্যে বিশাল তিনটি সংখ্যা দরকার হয়।
এ কারণেই সমস্যাটি নিয়ে কাজ করতে গিয়ে গণিতবিদদের শুধু ছোট সংখ্যা পরীক্ষা করলেই চলে না। তাদের অনেক বড় সংখ্যার মধ্যেও সমাধান খুঁজতে হয়।
তর্কের খাতিরে আপাত ধরে নিই, কোনো গবেষক খুঁজে পেলেন:
a3 + b3 + c3 = 114
ধরা যাক, একদম নির্ভুল হিসাবেও সমীকরণটি মিলে গেল। তাহলে সমস্যাটির ইতিবাচক উত্তর পাওয়া গেল, এর সমাধান আছে।
কিন্তু যদি হাজার কোটি সম্ভাবনা পরীক্ষা করেও কোনো সমাধান না পাওয়া যায়, তাহলে কি বলা যাবে কোনো সমাধান নেই? না। কারণ পরীক্ষা করা সংখ্যাগুলোর বাইরে আরও অসংখ্য সম্ভাবনা রয়ে যায়। এই পার্থক্যটাই সমস্যাটিকে এত আকর্ষণীয় করে তুলেছে। তবে আমাদের এখানে থামলে চলবে না। যেতে হবে আরও বহুদূর।
১০০-এর ঘন ১০ লাখ। সংখ্যাটি মাত্র ১০০ হলেও তার ঘন অনেক বড় হয়ে যায়। ১,০০০-এর ঘন এক শ কোটি। তাই ঘন যত বড় হয়, ফলাফলের সংখ্যা তত দ্রুত বাড়ে।
৩
এবার এমন একটি কৌশল দেখা যাক, যা সমস্যাটির অনেক সম্ভাবনা শুরুতেই বাদ দিতে সাহায্য করে। আমাদের ৩২-এর হিসাব মেলাতে হলে এই কৌশলটা একটু বুঝতে হবে। তবে এটি বুঝতে উচ্চতর গণিতের প্রয়োজন নেই। প্রয়োজন শুধু ভাগশেষের ধারণা।
ধরা যাক, কোনো সংখ্যাকে ৯ দিয়ে ভাগ করা হলো। ভাগশেষ হতে পারে ০ থেকে ৮-এর মধ্যে যেকোনো একটি সংখ্যা। যেমন, ১৪-কে ৯ দিয়ে ভাগ করলে ভাগশেষ থাকে ৫। কিন্তু পূর্ণসংখ্যার ঘনসংখ্যাগুলোর ক্ষেত্রে একটি চমৎকার নিয়ম আছে। যেকোনো পূর্ণসংখ্যার ঘনসংখ্যাকে ৯ দিয়ে ভাগ করলে ভাগশেষ শুধু ০, ১ অথবা ৮ হতে পারে। যেমন, ১৩ = ১, ২৩ = ৮ এবং ৩৩ = ২৭। ২৭-কে ৯ দিয়ে ভাগ করলে ভাগশেষ ০। একটু পরীক্ষা করলে দেখা যাবে, যেকোনো পূর্ণসংখ্যার কিউবের ক্ষেত্রেই এই তিনটি ভাগশেষের একটি পাওয়া যায়।
এই তিনটি ভাগশেষ যোগ করলে মোট ভাগশেষ ৪ বা ৫ হওয়ার সুযোগ নেই। ভাগশেষ ৮-কে এখানে −১ হিসেবেও ভাবা যায়। এটা একটু উচ্চতর গণিতের ধারণা, কিন্তু আপাতত শুধু এটুকু মনে রাখলেই চলবে। সবসময় তিনটি ঘনসংখ্যার ভাগশেষের যোগফল দাঁড়ায় −৩ থেকে ৩-এর মধ্যে কোনো একটি মান। ৯ দিয়ে ভাগের হিসাবে এর মধ্যে ৪ বা ৫ পড়ে না। তাই কোনো সংখ্যাকে ৯ দিয়ে ভাগ করলে ভাগশেষ ৪ বা ৫ পাওয়া গেলে, সেই সংখ্যাকে তিনটি পূর্ণসংখ্যার কিউবের যোগফল হিসেবে প্রকাশ করা সম্ভব নয়।
যেকোনো পূর্ণসংখ্যার ঘনসংখ্যাকে ৯ দিয়ে ভাগ করলে ভাগশেষ শুধু ০, ১ অথবা ৮ হতে পারে। যেমন, ১৩ = ১, ২৩ = ৮ এবং ৩৩ = ২৭। ২৭-কে ৯ দিয়ে ভাগ করলে ভাগশেষ ০।
যেমন, ৩২-কে ৯ দিয়ে ভাগ করলে ভাগশেষ থাকে ৫। আগেই বলেছি, ৪ বা ৫ ভাগশেষ আকারে পাওয়া গেলে সেই সংখ্যাকে তিনটি পূর্ণসংখ্যার ঘনসংখ্যার যোগফল আকারে পাওয়া সম্ভব নয়। ফলে 32 = x³ + y³ + z³ সমীকরণের কোনো পূর্ণসংখ্যার সমাধান নেই। এখানে যত বড় কম্পিউটারই ব্যবহার করা হোক, সমাধান পাওয়া যাবে না। কারণ, সমাধান যে নেই, তা গাণিতিকভাবে প্রমাণ করা সম্ভব।
কিন্তু ৯ দিয়ে ভাগ করলে ভাগশেষ ৪ বা ৫ না হলেই যে সমাধান পাওয়া যাবে, তা এখনো প্রমাণিত হয়নি। গণিতবিদদের ধারণা, এই ভাগশেষের বাধাটিই হয়তো একমাত্র বাধা। অর্থাৎ, ৪ বা ৫ বাদে অন্য সব ভাগশেষের জন্য উপযুক্ত তিনটি ঘনসংখ্যা পাওয়া সম্ভব হতে পারে। যেমন, ১১৪-কে ৯ দিয়ে ভাগ করলে ভাগশেষ থাকে ৬। অর্থাৎ, এই সমস্যার সমাধান পাওয়ার আশা আছে। কিন্তু এই ধারণা এখনো পুরোপুরি প্রমাণিত নয়। এ কারণেই এই সমস্যাটিকে সেরা ৫০টি সমস্যার মধ্যে এখনো রাখা হয়েছে।
৯ দিয়ে ভাগ করলে ভাগশেষ ৪ বা ৫ না হলেই যে সমাধান পাওয়া যাবে, তা এখনো প্রমাণিত হয়নি। গণিতবিদদের ধারণা, এই ভাগশেষের বাধাটিই হয়তো একমাত্র বাধা।
৪
এই সমস্যার ইতিহাস বেশ পুরোনো। ১৯৫০-এর দশক থেকে গণিতবিদেরা বিভিন্ন পূর্ণসংখ্যার জন্য তিনটি ঘনসংখ্যার যোগফল খুঁজছেন। ১৯৫৩ সালে গণিতবিদ লুই মর্দেল ৩-কে তিনটি ঘনসংখ্যার যোগফল হিসেবে প্রকাশ করার প্রশ্নটি নিয়ে লিখেছিলেন। তখন তাঁর জানা সমাধান ছিল মাত্র কয়েকটি। তিনি মনে করেছিলেন, এর বাইরে নতুন সমাধান খুঁজে পাওয়া খুব কঠিন হবে।
সমস্যাটি পরে আরও ব্যাপকভাবে অনুসন্ধান করা হয়। ছোট সংখ্যাগুলোর জন্য সমাধান খুঁজতে গিয়ে গণিতবিদেরা একের পর এক সংখ্যা পরীক্ষা করেছেন। কোনো সংখ্যার সমাধান পাওয়া গেছে। কোনো সংখ্যার ক্ষেত্রে প্রমাণ করা গেছে যে সমাধান পাওয়া সম্ভব নয়। কিন্তু কিছু সংখ্যা রয়ে গেছে অধরা।
২০১৯ সালের মার্চে ব্রিস্টল বিশ্ববিদ্যালয়ের গণিতবিদ অ্যান্ড্রু বুকার ৩৩ সংখ্যাটির একটি সমাধান খুঁজে পান। তিনি এমন একটি কম্পিউটার অ্যালগরিদম তৈরি করেছিলেন, যা বিপুলসংখ্যক সম্ভাবনার মধ্য থেকে উপযুক্ত তিনটি সংখ্যা খুঁজতে পারে। বিশ্ববিদ্যালয়ের সুপারকম্পিউটারে টানা কয়েক সপ্তাহ গণনা চালানোর পর সমাধানটি পাওয়া যায়।
সমাধানটি ছিল এমন:
৩৩ = ৮,৮৬৬,১২৮,৯৭৫,২৮৭,৫২৮৩ + (−৮,৭৭৮,৪০৫,৪৪২,৮৬২,২৩৯)৩ + (−২,৭৩৬,১১১,৪৬৮,৮০৭,০৪০)৩
সংখ্যাগুলো বিশাল সন্দেহ নেই। এগুলো এত বড় যে হাতে হিসাব করে ফলাফল যাচাই করাও বাস্তবসম্মত নয়। কিন্তু কম্পিউটারের সাহায্যে এই সমস্যার সমাধান করা সম্ভব হয়েছে।
ব্রিস্টল বিশ্ববিদ্যালয়ের গণিতবিদ অ্যান্ড্রু বুকার এমন একটি কম্পিউটার অ্যালগরিদম তৈরি করেছিলেন, যা বিপুলসংখ্যক সম্ভাবনার মধ্য থেকে উপযুক্ত তিনটি সংখ্যা খুঁজতে পারে।
এরপর আরেকটু বড় সংখ্যার দিকে নজর দেওয়া যাক। এবার ৪২। ডগলাস অ্যাডামসের দ্য হিচহাইকার্স গাইড টু দ্য গ্যালাক্সি বইয়ে ৪২ সংখ্যাকে মহাবিশ্ব, জীবন ও সবকিছুর চূড়ান্ত প্রশ্নের উত্তর বলা হয়েছে। অবশ্য গণিতের সমস্যাটির সঙ্গে ওই কল্পকাহিনির কোনো সম্পর্ক নেই। মিলটি নিছক কাকতালীয়।
৪২ সংখ্যাটির সমাধান খুঁজতে বুকার যুক্ত হন ম্যাসাচুসেটস ইনস্টিটিউট অব টেকনোলজির গবেষক অ্যান্ড্রু সাদারল্যান্ডের সঙ্গে। তাঁরা বুঝতে পেরেছিলেন, সাধারণ পদ্ধতিতে সম্ভাব্য সব সংখ্যা পরীক্ষা করা কার্যকর হবে না। দরকার এমন একটি কৌশল, যাতে অনুসন্ধানের পরিসর অনেকটা ছোট করা যায়।
অবশেষে তাঁরা এমন একটি সমাধান খুঁজে পান, যেখানে তিনটি সংখ্যার ঘনসংখ্যা যোগ করলে ৪২ হয়। ২০১৯ সালের সেপ্টেম্বরে এই আবিষ্কার প্রকাশিত হয়।
৪২-এর সমাধানটি হলো:
৪২ = (−৮০,৫৩৮,৭৩৮,৮১২,০৭৫,৯৭৪)৩ + ৮০,৪৩৫,৭৫৮,১৪৫,৮১৭,৫১৫৩ + ১২,৬০২,১২৩,২৯৭,৩৩৫,৬৩১৩।
এখানেও তিনটি সংখ্যা অনেক বড়। কিন্তু ঠিক এই কারণেই আবিষ্কারটি গুরুত্বপূর্ণ। দীর্ঘদিন ধরে কম্পিউটার দিয়ে খুঁজেও যে সমাধান পাওয়া যাচ্ছিল না, আরও উন্নত অনুসন্ধানপদ্ধতির সাহায্যে সেটি পাওয়া সম্ভব হয়েছে।
এরপর বুকার ও সাদারল্যান্ড ৩-এর জন্য একটি নতুন সমাধান খুঁজতে শুরু করেন। এমনিতে ৩ সংখ্যাটির জন্য একটি সহজ সমাধান তো আছেই।
৩ = ১৩ + ১৩ + ১৩
আরেকটি সমাধান হলো:
৩ = ৪৩ + ৪৩ + (−৫)৩
এখানে, ৪৩ = ৬৪ এবং (−৫)৩ = −১২৫। ফলে ৬৪ + ৬৪ − ১২৫ = ৩। আগেও এই হিসাবটা দেখিয়েছি। কিন্তু প্রশ্ন হলো, এই দুটির বাইরে আর কোনো উপায় কি আছে?
২০২১ সালে এমআইটি নিউজে প্রকাশিত প্রতিবেদনে গবেষণাটির বিস্তারিত তুলে ধরা হয়। এটি শুধু ৩-এর একটি নতুন সমাধান ছিল না; বরং আরও বড় প্রশ্নের দিকে ইঙ্গিত করেছিল।
দীর্ঘদিন ধরে গণিতবিদেরা তেমন আরেকটি সমাধান খুঁজে পাননি। ২০১৯ সালে বুকার ও সাদারল্যান্ড ৩-এর একটি নতুন সমাধান খুঁজে পান। সেখানে তিনটি সংখ্যাই এত বড় যে সাধারণ ক্যালকুলেটরে হিসাব করা কঠিন। সমাধানটি হলো:
৩ = ৫৬৯,৯৩৬,৮২১,২২১,৯৬২,৩৮০,৭২০৩ + (−৫৬৯,৯৩৬,৮২১,১১৩,৫৬৩,৪৯৩,৫০৯)৩ + (−৪৭২,৭১৫,৪৯৩,৪৫৩,৩২৭,০৩২)৩।
এই সমাধানও পাওয়া যায় ২০১৯ সালের সেপ্টেম্বরে। ২০২১ সালে এমআইটি নিউজে প্রকাশিত প্রতিবেদনে গবেষণাটির বিস্তারিত তুলে ধরা হয়। এটি শুধু ৩-এর একটি নতুন সমাধান ছিল না; বরং আরও বড় প্রশ্নের দিকে ইঙ্গিত করেছিল। হয়তো এমন সমাধান আরও আছে, কিন্তু সেগুলো খুঁজে পাওয়া অত্যন্ত কঠিন। কিন্তু কম্পিউটার কীভাবে এই সংখ্যাগুলো খুঁজে পায়?
অনেক কম্পিউটার একসঙ্গে কাজ করায় বিপুলসংখ্যক সম্ভাবনা দ্রুত পরীক্ষা করা যায়। তবে কম্পিউটার যত শক্তিশালীই হোক, সব সমস্যার উত্তর খুঁজে পাওয়ার নিশ্চয়তা নেই।
৫
এত বড় সংখ্যার সমাধান হাতে খোঁজা মানুষের পক্ষে প্রায় অসম্ভব। তাই গণিতবিদেরা কম্পিউটারের সাহায্য নিয়েছেন। কিন্তু কম্পিউটারকে শুধু একের পর এক সংখ্যা পরীক্ষা করতে বললে কাজটি খুব ধীর হবে। দরকার এমন অ্যালগরিদম, যা সম্ভাবনাগুলোকে বুদ্ধিমত্তার সঙ্গে সাজিয়ে খুঁজতে পারে।
বুকার ও সাদারল্যান্ড এমন একটি পদ্ধতি ব্যবহার করেন, যাতে অনুসন্ধানের কাজ ছোট ছোট ভাগে ভাগ করা যায়। এরপর বহু কম্পিউটার একই সঙ্গে আলাদা আলাদা অংশে কাজ করতে পারে। ৪২ সংখ্যার সমাধান খুঁজতে তাঁরা চ্যারিটি ইঞ্জিন নামে একটি প্রকল্পের সাহায্য নেন। বিশ্বের প্রায় পাঁচ লাখ ব্যক্তিগত কম্পিউটারের গণনাশক্তি একত্র করে এই অনুসন্ধান চালানো হয়েছিল।
এভাবে কাজ ভাগ করে দিলে একটি কম্পিউটারের ওপর সব চাপ পড়ে না। অনেক কম্পিউটার একসঙ্গে কাজ করায় বিপুলসংখ্যক সম্ভাবনা দ্রুত পরীক্ষা করা যায়। তবে কম্পিউটার যত শক্তিশালীই হোক, সব সমস্যার উত্তর খুঁজে পাওয়ার নিশ্চয়তা নেই। মাঝেমধ্যে আরও ভালো অ্যালগরিদম দরকার হয়। কখনো সমস্যাটিকে নতুনভাবে দেখতে হয়। তাহলে এসব সমস্যার সমাধান কীভাবে হয়েছে?
পুরো সমস্যাটির সমাধান এখনো হয়নি। ৩, ৩৩ ও ৪২ সংখ্যার সমাধান পাওয়া গেছে ঠিকই, কিন্তু সব সংখ্যার জন্য সমাধান পাওয়া সম্ভব কি না, তা এখনো অজানা।
বুকার ও সাদারল্যান্ড এমন একটি পদ্ধতি ব্যবহার করেন, যাতে অনুসন্ধানের কাজ ছোট ছোট ভাগে ভাগ করা যায়। এরপর বহু কম্পিউটার একই সঙ্গে আলাদা আলাদা অংশে কাজ করতে পারে।
এপক এআইয়ের ‘ফ্রন্টিয়ারম্যাথ: ওপেন প্রবলেমস’ প্রকল্পে এই সমস্যাটির দুটি বিশেষ প্রশ্ন রাখা হয়েছে। প্রথমটি হলো ১১৪-কে তিনটি পূর্ণসংখ্যার ঘনসংখ্যার যোগফল হিসেবে প্রকাশ করা যায় কিনা। দ্বিতীয়টি হলো, ৩ সংখ্যাটি প্রকাশ করার জন্য বর্তমানে পাওয়া সমাধানগুলোর বাইরে আরেকটি নতুন উপায় কি খুঁজে পাওয়া কি সম্ভব?
১১৪ সংখ্যাটি বিশেষভাবে আকর্ষণীয়। ১ থেকে ১০০ পর্যন্ত সংখ্যাগুলোর মধ্যে যেসব সংখ্যার জন্য সমাধান সম্ভব, সেগুলোর সমাধান বা অসম্ভবতার প্রমাণ পাওয়া গিয়েছিল। ৩৩ ও ৪২ ছিল শেষ দিকের দুটি কঠিন উদাহরণ। ২০১৯ সালে সেগুলোর সমাধান পাওয়ার পর ১০০-এর পরের সংখ্যাগুলোর দিকে নজর পড়ে। বর্তমানে ১১৪ এমন একটি ছোট সংখ্যা, যার জন্য তিনটি ঘনসংখ্যার যোগফল পাওয়া যাবে কি না, তা এখনো জানা নেই।
এখানে একটা পার্থক্য বুঝতে হবে। ১১৪-এর সমাধান এখনো পাওয়া যায়নি মানে এই নয় যে সমাধান নেই। আবার অনেক বড় সংখ্যা পরীক্ষা করেও সমাধান না পাওয়া মানে এই নয় যে সমাধান অসম্ভব। সমাধান না পাওয়া আর সমাধান নেই; দুটি আলাদা বিষয়। কোনো সংখ্যা অসম্ভব প্রমাণ করতে হলে গাণিতিক যুক্তি দিয়ে দেখাতে হবে, কোনো পূর্ণসংখ্যার ঘনসংখ্যার যোগফলই সমীকরণটি পূরণ করতে পারে না। এখানেই আসে এআইয়ের গুরুত্ব। প্রশ্ন ওঠে, এআই কি এই সমস্যার সমাধান করতে পারবে?
এখানেই আধুনিক এআইয়ের জন্য নতুন চ্যালেঞ্জ তৈরি হয়েছে। এআই এখন গণিতের অনেক কঠিন সমস্যা নিয়ে কাজ করতে পারে। কখনো নতুন ধারণা দেয়, কখনো প্রমাণের ধাপ সাজায়, কখনো কম্পিউটার কোড লিখে অনুসন্ধানকে দ্রুত করে। কিন্তু তিনটি ঘনসংখ্যার যোগফলের সমস্যায় শুধু বিপুলসংখ্যক হিসাব করলেই হবে না। দরকার এমন পদ্ধতি, যা অকার্যকর সম্ভাবনাগুলো বাদ দিয়ে সঠিক সমাধানের দিকে এগিয়ে যেতে পারে।
এআই এখন গণিতের অনেক কঠিন সমস্যা নিয়ে কাজ করতে পারে। কখনো নতুন ধারণা দেয়, কখনো প্রমাণের ধাপ সাজায়, কখনো কম্পিউটার কোড লিখে অনুসন্ধানকে দ্রুত করে।
এপক এআইয়ের এই প্রকল্পে ১১৪ সংখ্যাটির জন্য তিনটি পূর্ণসংখ্যা খুঁজে বের করা এবং ৩ সংখ্যার জন্য নতুন সমাধান খুঁজে পাওয়ার দুটি চ্যালেঞ্জই আছে। এর অর্থ, প্রকল্পটির বর্তমান বিবরণ অনুযায়ী এই নির্দিষ্ট কাজগুলোর গ্রহণযোগ্য সমাধান এখনো পাওয়া যায়নি।
কোনো এআই যদি তিনটি সংখ্যা প্রস্তাব করে, তাহলে সেটি যাচাই করা তুলনামূলক সহজ। সংখ্যাগুলোকে ঘন করে যোগ করলে সত্যিই ১১৪ বা ৩ পাওয়া যায় কি না, তা নির্ভুলভাবে পরীক্ষা করা যায়। কিন্তু সমাধান না পাওয়া গেলে সমস্যাটি ‘অসম্ভব’ বলা যায় না। আর এআইয়ের দেওয়া কোনো পদ্ধতি যদি শুধু কিছু সংখ্যা পরীক্ষা করে, তবে সেটিও সম্পূর্ণ সমাধান নয়। সমাধানটি সঠিক হতে হবে এবং দাবির পরিধি যত বড়, তার পক্ষে প্রমাণও তত শক্ত হতে হবে।
এই সমস্যায় এআইয়ের সাফল্য তাই শুধু সঠিক তিনটি সংখ্যা খুঁজে পাওয়ার মধ্যে সীমাবদ্ধ নয়। আরও ভালো অনুসন্ধানপদ্ধতি তৈরি করতে হবে। কিন্তু প্রশ্ন আসতে পারে, কম্পিউটার কীভাবে এসব সংখ্যার সমাধান খোঁজে?
এআইয়ের দেওয়া কোনো পদ্ধতি যদি শুধু কিছু সংখ্যা পরীক্ষা করে, তবে সেটিও সম্পূর্ণ সমাধান নয়। সমাধানটি সঠিক হতে হবে এবং দাবির পরিধি যত বড়, তার পক্ষে প্রমাণও তত শক্ত হতে হবে।
৬
এবার গবেষণার সবচেয়ে আকর্ষণীয় অংশে আসা যাক। কম্পিউটারকে কি শুধু একের পর এক সংখ্যা বসিয়ে হিসাব করতে দেওয়া হয়? শুরুতে এমন পদ্ধতি ভাবা যায়। কিন্তু বাস্তবে সম্ভাবনার সংখ্যা এত দ্রুত বাড়ে যে আরও বুদ্ধিদীপ্ত কৌশল প্রয়োজন।
ধরা যাক, ৩৩-এর বদলে ৩৪ সংখ্যাকে তিনটি ঘনসংখ্যার যোগফল হিসেবে প্রকাশ করতে হবে। তাহলে কম্পিউটার কীভাবে সমাধান করার চেষ্টা করবে? ধাপে ধাপে আগানো যাক। কম্পিউটারের কাছে প্রথমে প্রশ্নটি এমন:
x3 + y3 + z3 = 34
একটি উপায় হলো, প্রথমে z-এর কোনো মান বেছে নেওয়া। ধরা যাক, z = -৬। তাহলে,
X3 + y3 = 34 - (-6)3
X3 + y3 = 34 + 216
X3 + y3 = 250
এখন খুঁজতে হবে, ২৫০ সংখ্যাটিকে এমনভাবে ভাঙা যায় কি না, যাতে তা দুটি ঘন সংখ্যার যোগফল হয়। এখানে আমরা প্রাথমিক বিদ্যালয়ের একটি সূত্র ব্যবহার করব। সূত্রটি হলো:
x3 + y3 = (x + y)(x2 – xy + y2)
এই সূত্রের সাহায্যে দুটি ঘন সংখ্যার যোগফলকে দুটি গুণনীয়কের গুণফল হিসেবে লেখা যায়। অর্থাৎ, ২৫০-কে লেখা যায়:
২৫০ = ১২৫ + ১২৫ = ৫৩ + ৫৩
আমরা যেভাবে শুরুতেই z-এর মান -৬ ধরেছি, কম্পিউটার হয়তো শুরুতেই সেভাবে সঠিক সংখ্যা ধরতে পারে না। কম্পিউটার শুরুতে ১, তারপর ২…এভাবে একেকটি সংখ্যা ধরতে থাকে।
তাহলে সূত্রে বসানোর জন্য আমাদের ধরতে হবে x = 5 এবং y = 5। এবার ওপরের সূত্রে মানগুলো বসিয়ে পাই:
X3 + y3 = (x + y) (x2 - xy + y2)
x + y = 5 + 5 = 10।
আবার,
(x2 - xy + y2) = 5২ - 5 × 5 + 5২ = 25 - 25 + 25 = 25
দুটি গুণনীয়ক একসঙ্গে গুণ আকারে লিখলে হয় ২৫০ = ১০ × ২৫। অর্থাৎ, দুটি গুণনীয়কের সঙ্গে সূত্রটি মিলে যাচ্ছে। এবার কম্পিউটার যেভাবে প্রশ্নটি দেখেছিল, এখানে যদি x, y ও z-এর মান বসিয়ে দেই, তাহলে সমাধান পাওয়া যাবে। অর্থাৎ,
x3 + y3 + z3 = 34
53 + 53 + (-6)3 = 34
125 + 125 - 216 = 34
250 - 216 = 34।
কম্পিউটার ঠিক এভাবে ধাপে ধাপে সংখ্যা বসিয়ে হিসাব করে। তবে আমরা যেভাবে শুরুতেই z-এর মান -৬ ধরেছি, কম্পিউটার হয়তো শুরুতেই সেভাবে সঠিক সংখ্যা ধরতে পারে না। কম্পিউটার শুরুতে ১, তারপর ২…এভাবে একেকটি সংখ্যা ধরতে থাকে। একসময় যখন -৬ সংখ্যায় এসে পৌঁছায়, তখন সমাধান পেয়ে যায়। কিন্তু এই সমস্যার সমাধান হলে কী লাভ হবে?
গণিতবিদেরা জানতে চাইছেন, কোন সংখ্যাগুলো তিনটি ঘনসংখ্যার যোগফল হতে পারে এবং কেন কিছু সংখ্যা কখনোই তিনটি ঘনসংখ্যার যোগফল হতে পারে না।
৭
তিনটি ঘনসংখ্যার যোগফলের সমস্যাটি শুরুতে খুব সহজ মনে হয়েছিল। স্কুলের বীজগণিতের সমীকরণের মতোই দেখতে। কিন্তু এর ভেতরে আছে সংখ্যার গভীর বৈশিষ্ট্য, অসীম সম্ভাবনার মধ্যে অনুসন্ধান এবং প্রমাণের প্রশ্ন।
এখানে কম্পিউটার একটি উত্তর খুঁজে দিতে পারে। কিন্তু কোনো উত্তর নেই, এটি প্রমাণ করা অনেক সময় আরও কঠিন। আবার কোনো একটি সংখ্যার সমাধান পাওয়া মানেই সব সংখ্যার জন্য নিয়মটি একই না-ও হতে পারে। একটি একটি করে সমাধান খুঁজে পাওয়া আর পুরো সমস্যার সাধারণ নিয়ম আবিষ্কার করা এক বিষয় নয়।
এই কারণেই গণিতবিদেরা শুধু ১১৪ সংখ্যাটির জন্য তিনটি সংখ্যা খুঁজছেন না। তাঁরা জানতে চাইছেন, কোন সংখ্যাগুলো তিনটি ঘনসংখ্যার যোগফল হতে পারে এবং কেন কিছু সংখ্যা কখনোই তিনটি ঘনসংখ্যার যোগফল হতে পারে না। আর যে যেগুলো হতে পারে, সেগুলোর সমাধান খুঁজে পাওয়ার কোনো সাধারণ পদ্ধতি আছে কি না।
প্রশ্নটির উত্তর হয়তো নতুন কোনো অ্যালগরিদম থেকে আসবে। হয়তো কোনো গণিতবিদ এমন একটি ধারণা দেবেন, যা সমস্যাটিকে সম্পূর্ণ নতুনভাবে দেখতে সাহায্য করবে। আবার মানুষ ও এআই একসঙ্গে কাজ করেও এই সমস্যার সমাধান হতে পারে।
আসলে গণিতের সৌন্দর্য এখানেই। একটি প্রশ্ন বুঝতে কয়েক মিনিট লাগতে পারে, কিন্তু তার উত্তর খুঁজতে লেগে যেতে পারে কয়েক শ বছর। সেই দীর্ঘ অনুসন্ধানের পথে শুধু একটি সংখ্যা নয়, গণিতের আরও বড় রহস্যের দরজাও খুলে যেতে পারে। একটি সমস্যার উত্তর খুঁজে না পেলেও অনুসন্ধানের পথে নতুন প্রশ্নের জন্ম হতে পারে। আর গণিতের ইতিহাসে অনেক সময় নতুন প্রশ্নই হয়ে উঠেছে বড় আবিষ্কারের সূচনা।
কোনো একটি সংখ্যার সমাধান পাওয়া মানেই সব সংখ্যার জন্য নিয়মটি একই না-ও হতে পারে। একটি একটি করে সমাধান খুঁজে পাওয়া আর পুরো সমস্যার সাধারণ নিয়ম আবিষ্কার করা এক বিষয় নয়।
পাঠকের জন্য তিনটি প্রশ্ন
প্রথম প্রশ্ন: ১১৪ সংখ্যার জন্য তিনটি ঘনসংখ্যার যোগফল খুঁজে পাওয়া গেলে কি প্রমাণ হবে, ১১৪ সংখ্যার চেয়ে বড় সব সংখ্যাকে তিনটি ঘনসংখ্যার যোগফল হিসেবে লেখা সম্ভব?
দ্বিতীয় প্রশ্ন: একটি কম্পিউটার যদি কোটি কোটি সম্ভাব্য সমন্বয় পরীক্ষা করে কোনো সমাধান না পায়, তাহলে কি নিশ্চিতভাবে বলা যাবে যে কোনো সমাধান নেই?
তৃতীয় প্রশ্ন: ১১৪-কে ৯ দিয়ে ভাগ করলে ভাগশেষ ৬ পাওয়া যায়। আমরা জানি, ভাগশেষ ৪ বা ৫ হলে কোনো সমাধান পাওয়া সম্ভব নয়। তাহলে ১১৪ সংখ্যার ক্ষেত্রে এই বাধা না থাকাটা কি এর সমাধান থাকার নিশ্চয়তা দেয়?